\section{Stabilitetsanalyse}
Før regulatorerne skal dimensioneres er det valgt at tjekke hvorvidt de fundne overføringsfunktioner er stabile ved brug af Routh's stabilitets krav \citep{Feedback:book}. Der testes for stabilitet fordi den fysiske kran er stabil, og derfor bør modellerne af den også være det.\\\\
For at bestemme routh's koefficienter for $G_{\Theta_{\text{last}}}(s)$, er systemets karakteristiske ligning opstillet i ligning \eqref{eq:klassisk_stabilitet_thetalast}.
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
s^{2} + 0,0011 \cdot s + 15,59
 \label{eq:klassisk_stabilitet_thetalast}
\end{IEEEeqnarray}
Ud fra den karakteristiske ligning er routh's array opstillet i \eqref{eq:routh1}.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\begin{bmatrix}
s^{2}: & 1 & 15,59 \\
s^{1}: & 0,0011 & 0 \\
s^{0}: & 15,59 & 0 \\
\end{bmatrix} \label{eq:routh1} 
\end{IEEEeqnarray}
For at systemet er stabilt kræves det at alle elementer i den første søjle er positive, hvilket de er i dette tilfælde. Systemet er derfor stabilt uden regulator, hvilket var forventet.\\\\
For overføringsfunktionen $G_{\dot{X}_{\text{slæde}}}(s)$ er den karakteristiske ligning opstillet i ligning \eqref{eq:klassisk_stabilitet_xslaede}.
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
s^{3} + 3,52 \cdot s^{2} + 17,86 \cdot s + 54,68
\label{eq:klassisk_stabilitet_xslaede}
\end{IEEEeqnarray}
Ved  brug af den karakteristiske ligning for systemet kan routh's array opstilles som i \eqref{eq:routh3}.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\begin{bmatrix}
s^{3}: & 1 & 17,86 \\
s^{2}: & 3,52 & 54,68 \\
s^{1}: & 2,52 & 0 \\
s^{0}: & 54,68 & 0 \\
\end{bmatrix} \label{eq:routh3} 
\end{IEEEeqnarray}
Da alle koefficienter i første søjle er positive er dette system ligeledes stabilt. \\\\
For overføringsfunktionen $G_{\dot{Y}_{\text{last}}}(s)$ er den karakteristiske ligning opstillet i ligning \eqref{eq:klassisk_stabilitet_ylast}.
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
s + 0,35
 \label{eq:klassisk_stabilitet_ylast}
\end{IEEEeqnarray}
Ved  brug af den karakteristiske ligning for systemet kan routh's array opstilles som i \eqref{eq:routh5}.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\begin{bmatrix}
s^{1}: & 1 \\
s^{0}: & 0,35 \\
\end{bmatrix} \label{eq:routh5} 
\end{IEEEeqnarray}
Det kan ses alle koefficienter i første søjle er positive og dermed er dette system også stabilt.\\\\
Ud fra dette afsnit er det blevet verificeret at alle overføringsfunktionerne er stabile, hvormed der nu kan arbejdes videre med disse overføringsfunktioner.